積分　(sinx)^3

$3$\displaystyle{\int { \sin }^{3}xdx }$

高次の三角関数の積分になるので，積分の計算手順より，三角関数の1次化のための公式を用いて
次数を下げて積分が可能な形にもっていく．

$3$\displaystyle{ \int { \sin }^{3}xdx }$ $3$\displaystyle{ =\int \frac{\hspace{2} 3\sin x- \sin 3x \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}dx }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\int \sin xdx- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\int \sin 3xdx }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\cos 3x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

次に角の統一を図る．

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}\cos 3x+C }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ \cos 2x\cos x- \sin 2x\sin x $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} \{ $ { \cos }^{2}x- { \sin }^{2}x $ \cos x- 2\sin x\cos x\sin x \} +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ { \cos }^{3}x- 3{ \sin }^{2}x\cos x $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} \{ { \cos }^{3}x- 3 $ 1- { \cos }^{2}x $ \cos x \} +C }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}} $ 4{ \cos }^{3}x- 3\cos x $ +C }$

$3$\displaystyle{ =- \cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \cos }^{3}x+C }$

置換積分で解く方法もある．

$3$\displaystyle{\int { \sin }^{3}xdx =\int $ 1- { \cos }^{2}x $ \sin xdx }$

となるので， $3$\displaystyle{\cos x=t}$ とおくと， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \sin x\rightarrow \sin xdx=- dt}$ となる．よって

$3$\displaystyle{ \int \left({ 1- { \cos }^{2}x }\right)\sin xdx }$ $3$\displaystyle{ =\int \left({ - 1+{t}^{2} }\right)dt }$

$3$\displaystyle{ =- t+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{t}^{3}+C }$

$3$\displaystyle{ =- \cos x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \cos }^{3}x+C }$ 　　（ $3$\displaystyle{C}$ は積分定数）

となり，同じ結果が得られる．

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最終更新日：2023年1月30日

積分 (sinx)^3

積分　(sinx)^3